Dasar Teoretis
Sebelum melakukan perhitungan pertama, kita harus memastikan pencarian kita tidak sia-sia. Kita mulai dengan Masalah Nilai Awal (IVP):
$$y' = f(t, y), \quad y(t_0) = y_0$$
Teorema 2.4.2 menyatakan bahwa ada solusi unik $y = \phi(t)$ dari masalah yang diberikan dalam suatu selang di sekitar $t_0$. Jaminan ini membenarkan upaya numerik kita; jika tidak ada solusi yang ada, atau jika solusinya tidak unik, algoritma kita mungkin berkonvergensi ke hasil yang tidak masuk akal atau bahkan menyimpang sepenuhnya.
Jembatan Integral
Hampir semua metode numerik memiliki DNA matematis yang sama, berasal dari Teorema Dasar Kalkulus. Kita dapat mengekspresikan evolusi solusi $\phi(t)$ dari satu titik ke titik berikutnya sebagai identitas eksak:
$$\phi(t_{n+1}) - \phi(t_n) = \int_{t_n}^{t_{n+1}} \phi'(t) dt$$
Dengan mensubstitusi persamaan diferensial $\phi'(t) = f(t, \phi(t))$, kita memperoleh Rumus Rekonstruksi:
$$\phi(t_{n+1}) = \phi(t_n) + \int_{t_n}^{t_{n+1}} f(t, \phi(t)) dt$$
Dari Kontinu ke Diskret
Komputer tidak dapat mengevaluasi integral dari fungsi $\phi(t)$ yang tidak diketahui. Oleh karena itu, kita diskretkan. Dalam kasus paling sederhana, kita mengaproksimasi luas di bawah $f(t, \phi(t))$ sebagai persegi panjang dengan lebar $h = t_{n+1} - t_n$ dan tinggi diambil dari titik awal $f(t_n, y_n)$. Lompatan dari integral melengkung menjadi persegi panjang yang diarsir (seperti yang terlihat pada Gambar 8.1.1) menciptakan rumus Euler:
$$y_{n+1} = y_n + h f(t_n, y_n)$$
Di sini, $y_n$ merepresentasikan aproksimasi numerik dari nilai sebenarnya $\phi(t_n)$. Kesalahan yang muncul akibat aproksimasi persegi panjang ini dikenal sebagai kesalahan pemotongan lokal.